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王老师小语工作室

文字教学,扎实展现魅力;情感熏陶,无痕彰显智慧。

 
 
 

日志

 
 

(转)课堂观察: 美国数学课上的磨洋工  

2013-02-14 21:52:31|  分类: 他山之石 |  标签: |举报 |字号 订阅

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美国数学课上的磨洋工

我儿子矿矿在同班的美国小朋友只会掰手指算简单加减法时,已会多位数乘除法。老师问:43=?大家还没反应,他答:4321÷3。全班都傻了眼,就他得意洋洋。美国孩子和家长见到矿矿都竖拇指赞叹“聪明!”我们当然自以为是。在我眼里,美国小学数学太浅,整个一个“磨洋工”。一年级时,我借来六年级的数学课本,矿矿一样应付自如。

     第一学期结束后,我们向学校提出,能否让矿矿插班到三年级上数学?我心里想,只要求上三年级,已经很谦虚了。谁知,在我们很“谦虚”地提出让矿矿每星期跳级到三年级去上一节数学课时,美国学校竟然不同意,并指出:矿矿擅长的是中国学校教的“算术”技巧,美国学校教的则是“数学”……

     读了那封矿矿的老师代表校长和学区(相当于国内的教育局)写的信,我们非常不服气,不屑地扔到一边。直到后来对美国教育有更多了解时,我才重新冷静地阅读了这封信(节录):

     关于矿矿的数学学习问题,我已和校长罗伯特博士说过了。她也跟学区主管教学和课程的助理督导迈克·威廉斯博士谈了……

     附上一年级数学课15个单元的学习内容和教学目标……我们更强调的是孩子对那些隐藏在数学后面的概念的理解,从而在口头上和书写中能够运用他们所学的东西进行交流,而不是对算术的死记硬背。我们的目标是培养孩子成为解决问题的能手,学会思考,让孩子把自信建立在自己的能力之上,从而去珍视数学。我们的课程是让孩子积极参与到学习中,通过循序渐进、适当的教学活动去学习具体的操作计算。矿矿在中国学校学到的一些算术技巧,例如乘法和除法,对美国一年级小学生来说,不是循序渐进的适当的活动。我们运用的是绝对具有乘除法功能的组合法教学,从而使孩子在记住计算的数字之前已能理解乘除法的实际意义。

     矿矿当然是一个具有计算技巧的优秀学生。然而,算术仅仅是整个数学课程中的一个部分。我们在数学课里,会运用许多教学活动来挑战矿矿的思维,从而也对他本身形成一种挑战。

     我们觉得,派一个迈阿密大学的在校生一对一地帮矿矿,将比到三年级上数学更适当。如果你们想借三年级的数学教材在家里使用,我将乐意作出安排……

     重读此信,我多了一份思考:这封信非常讲究遣词造句。比如,在讲到矿矿及中国学校时,她始终用“算术”这个概念,而说到美国学校时,她都说“数学”。所谓“算术”,计“算”之技“术”也,似属雕虫小技。数学,是关于“数”的学问,是研究符号和数字之间的关系,以及如何用这些符号和数字来解释世间与之有关的现象。因此,数学是学术中的极品。

     到底美国小学的数学教学是“磨洋工”,抑或是我们把数学这门大学问当成了计算的技巧?我在潜心研究美国教育时,终于有了一些感悟。比如关于《鸡兔同笼》的计算:

     笼里有5个头和14只脚,一共几只兔几只鸡?在许多人眼里,这完全是一个计算问题。设兔为X,鸡为Yx+y=54(x)+2(y)=14

     到底我们该把它看作算术教学,还是数学教学?让我们来看美国的数学教育是怎样处理类似问题的:

     某个住在湖边的老人养有狗和鸭子。某天,老人看到5个头和14只脚。老人看到的是多少条狗?多少只鸭?

      老师:能不能找到解决问题的方法?

      学生们纷纷要求回答问题。

     学生A:要找到答案并不难,只要两个公式:一个解决脚的问题,另一个解决头的问题……

     老师制止学生A继续往下讲,说道:“很好!谁来设计这两个公式?”

     学生B:设狗为X,设鸭为Y4(x)+2(y)=14

     学生C写道:x+y=5

     老师:这两个公式对不对?

     学生七嘴八舌:“对啦!”

     老师:现在我们不要去计算答案。我们按照这两个公式来推理,看看答案是否合理……

     大家你望我,我望你。不让计算,却去猜答案。老师葫芦里卖的什么药?

     老师:犯愁了?不错!我们现在不打算去计算准确的答案,我们只是去猜测大致的答案。

     学生仍然丈二和尚摸不着头脑……

     老师:既然你们不回答,那我就来问你们,5条狗和4只鸭,对不对?

     学生哄然:不对!5条狗和4只鸭,一共是9个头,老人只看到5个头。

     老师:那么,谁能告诉我,狗脚和鸭脚的数目?

     学生们又是你望我,我望你,不知所措……

     老师:如果我告诉你们,狗不少于4条。你们认为怎么样?

     学生B:不对,请看看我设计的公式:脚的总数是14,而4条狗就有16条腿。除非老人喝醉了,把自己的脚也数进去了!

     哄堂大笑!

     老师:非常好!那能不能是3条狗呢?

     学生们陷入思考……

     学生C:那也不对!

     老师很感兴趣地问:“为什么?”

     学生C:除非有1只鸭子,少了两条腿。您看我设计的公式,总共有5个头。3条狗有12只脚。要符合5个头,14只脚的条件,就只剩两个鸭头,两只鸭脚。因此,除非有1只鸭没有脚……

     又是一阵哄堂大笑!

     老师:好吧,让我们假设所有的狗和鸭子都是进化完整的,没有缺胳膊少腿的。那么,该有多少只鸭子呢?

     学生再没有像前面那样沉默,而是议论纷纷。

     学生D:不管怎么说,前提是不能超过5个头,14只脚。

     老师:如果狗少于3只,我们能在鸭子的数量上做什么文章呢?

     学生E:这就是说,鸭子必须是3只以上。因为,头的总数是5个,狗少于3只,鸭子没有3只以上凑不够5只。

     老师:有道理。狗只能少于3只,鸭不能少于3只。那么,我们应该寻找的下一个线索是什么呢?

     学生思索……

     老师:如果是3只鸭子,鸭脚应该是……

     学生们:6只鸭脚。

     老师:对!如果是3只鸭子,6只鸭脚,狗的数目又该怎么算呢?

     学生A:如果狗脚不能多于12只,这就是说,狗不能多于3条,鸭子至少得有3只能凑够5个头。3只鸭,鸭脚就是6只。于是,狗只能是2条,狗脚……

     老师高兴地大笑:“好!不要往下说了。请大家用公式计算吧。”

     到了这一步,再用公式计算,简直是吃豆腐:狗是2条,鸭是3只。

     学生B有些不太高兴:“老师,看到您那么高兴,我倒有些费解了。这2条狗、3只鸭的答案,我们推理来推理去,花了快一节课的时间。其实,一开始就让我们拿公式来算,早就该做完了……”

     老师微笑着点头:“你提出了一个非常好的问题,甚至超过了‘2条狗,3只鸭’的答案。请大家想一想,为什么我们没有一开始就用公式来计算,而是花了一节课的时间来走完整个推理的过程?”

     学生E:我们浪费了不少时间去推论那些不正确的答案。

     学生C:我不同意“浪费”的说法。有时候,你不能证实一个答案是错的,你就不能证实另一个答案是对的。

     学生F:但是,值不值得花那么多时间?

     学生们七嘴八舌……

     老师会心地笑了:“谢谢大家!数学课不是算术,更不是用一个似懂非懂的公式去计算一个只有公式才能告诉你的答案。公式告诉你做什么?怎么做?我们充其量像个计算器。要真正理解:为什么这么做是对的?为什么那么做是不对的?问题就不那么简单了。就像知道点击电脑的什么键,电脑会怎么反应一样,那是电脑操作员的工作。只有理解:为什么点击电脑的这里会产生这个结果?为什么点击那里会产生那个结果?那才能成为电脑程序员。我们要的是通过演绎推理和归纳推理来证实和证伪某些答案,以及在这个过程中所培养和锻炼的推理能力。”

     数学的实质是一种思维方式

     其实,美国的数学教学是在企图回答学数学的目的问题:数学不仅仅是计算和应用公式.

 许多美国人相信,学数学的目的是掌握一种思维方式,是一种解释世间许多现象的工具,是训练思维能力的手段。

     我到过国内不少地方听数学课,情况却刚好相反。老师总是“赶集”式地、急急忙忙地直奔最简单的方式和答案。有一次,我到某重点小学去听数学课,老师踩着步点赶时间,课上得似乎挺活,但只给答对问题的学生一颗糖,答不对的,不给糖。没得到糖的孩子,心思都在别人的糖上。更要命的是,老师也不解释为什么不对。

     课后,我问老师,为什么不向学生解释错的原因?这位年轻的老师很不好意思,但又颇有些理直气壮地说:“根据教学大纲的进度,时间不够。”我建议道:能不能在课后,由知道的同学给不知道的同学解释为什么错。后来,她给我来电话,说是我的建议收到了很好的效果。

     我发现,国内的一些老师总是争分夺秒地“赶”教学内容,像上了发条似地踩着步点上课,“好”的老师可以按照设计好的教案在刚讲完课、对学生说“下课”时,铃声正好响起。已经有好几个美国老师跟我说到这种让他们叹为观止的现象:“怎么上课可以像发射宇宙飞船一样精确?好像遥控一样。”其实,“以老师为中心”和“以内容为中心”的教学,是完全可以做到的。该讲的内容讲完了,至于结果怎么样就无法顾及了。正像美国老师无法理解中国老师可以踩点下课一样,中国老师在听了我介绍美国的教学以后,也摇着头说:“好是好啦,可是他们怎么能完成教学内容呢?”

     然而,只讲已知的正确的东西,忽略让学生去证实或证伪自己的假设,就是忽略了学生的怀疑精神的培养。鼓励学生去证实或证伪某个假设,强调的是自我教育。上面那位美国老师,通过证实和证伪的过程培养学生演绎推理和归纳推理的能力,可谓用心良苦!

     “聪明”的孩子与“智慧”的学生

     为什么年龄越小时,中国孩子领先美国孩子越多,随着年龄的增长这种差距却越来越小,到高中以后,中国孩子与优秀的美国孩子就基本没有差距了?

     经过多年的观察与研究,我发现,中国教育培养的是聪明的孩子,美国教育培养的是智慧的学生。聪明的孩子和智慧的孩子有什么本质的区别?

     我们以“西安事变”的教学为例子,可清晰地看出两者的巨大差别:

     中国的大多数学校,老师讲完史实后,要求学生记时间、地点、人物、事件等,以“学会”为目的,满足于考试结果。

     美国的教育则是八仙过海:比如,可能什么都不教,让孩子们分成几组,分别制做一份当时各党各派报纸,或者只给几个辩论题,让孩子组成正反方进行辩论。即便是常规教学,老师也会启发孩子的发散性思维:如果蒋不妥协?如果张、杨不和共产党合作?如果张、杨把蒋处死?如果蒋逃出西安……甚至让学生自己设想发散性的问题。无论哪种方式,学生都在收集材料、研究材料、组织观点的过程中,培养了“会学”的能力。

     美国学者贾尼丝·萨博把培养“聪明的孩子”还是培养“智慧的学生”概括为两种教育:

       聪明的孩子      智慧的学生

      1.能够知道答案      1.能够提出问题

      2.带着兴趣去听      2.表达有力的观点

      3.能理解他人的意思    3.能抽象概括

      4.能抓住要领       4.能演绎推理

      5.完成作业        5.寻找课题

      6.乐于接受        6.长于出击

      7.吸收知识        7.运用知识

      8.善于操作       8.善于发明

      9.长于记忆       9.长于猜想

      10.喜欢自己学习    10.善于反思

     从很多教学的比较看,中国教育培养的学生包揽了“聪明的孩子”的所有特点;美国教育培养的学生囊括了“智慧的学生”的所有表现。

 

 

“磨洋工”,耗时而没效率,在多种场合下是不被人认可的,对其评价则不言而喻。而我觉得在新课程背景下,尤其是在数学课堂上教师“适当的退,适时的进”,让学生适当的磨一下洋工,不仅彰显教师的角色定位,更可贵的是在一定程度上,促进更多学生更好更快的发展。

同课异构“鸡兔同笼”引发的思考:是磨洋工还是另有寓意。

1.传统的教学:计算教学——“快”“练”

在《鸡兔同笼》一课中,一般而言,教师在教学“鸡兔同笼”问题时,引导学生得出式子后,就会马上让学生应用式子解决问题。因此,在一些人看来,“鸡兔同笼”问题似乎变成一种计算问题。学生掌握了一个固定模式后,就套用模式来解决所谓的“问题”。一节40分钟的课可以解决很多这样的数学问题,扎实实用。

2.别样的教学:追求数学教学——“磨洋工”

出示问题:某个住在湖边的老人养有狗和鸭子。某天,老人看到5个头和14只脚。老人看到的是多少条狗?多少只鸭?

 当学生列出算式:设狗为x条,设鸭为y只,4(x)+2(y)=14x+y=5     

 老师不要求学生去计算答案。反而按照这两个公式来推理,看看答案是否合理……   

例如:问题15条狗和4只鸭,对不对?     

问题2:狗不少于4条。你们认为怎么样?   那能不能是3条狗呢?         

        问题3:老师:如果狗少于3条,我们能在鸭子的数量上做什么文章呢?      

……

当学生根据推论得出结论时,再用式子去计算。

3.思考: 

小学数学课上,老师们为了提高课堂效率,希望在短期里创造奇迹,一味的加大课堂的容量、训练的节奏、拓展的深度。老师教得辛苦,课堂上争分夺秒、焦急地催促孩子要“快”,学生学得吃力,无暇去证实或者证伪某个假设,那就忽略了对学生的怀疑精神的培养。这里别样的“磨洋工”鼓励学生去证实或证伪某个假设,有利于学生的思维能力的提高。

笔者从课堂教学实践入手,提出了在“最需要的地方磨洋工”的策略。具体体现在:

一、在突破重难点的过程中“磨洋工”

1、解读概念上的重难点

数学课堂中常有一些学生比较难理解的概念和算理,在这些点上,花一点时间,精心设计,可以使难点迎刃而解,达到事半功倍的效果。例如:在《速度、时间、路程》一课中,许多老师都发现,学生对于速度为什么使用复合单位常有困惑。

【传统】

师出示:小刚3分钟跑完900,小军2分钟跑了630,谁跑得快?

生说解题思路。

师:是啊!通过计算我们可以知道小刚每分钟跑300,这就是小刚的速度,我们可以写成300/分,速度是一个复合单位。那么小军的速度可以怎么表示呢?

生:315/分。

教师满意地点了点头,其实学生根本就没有理解为什么速度要用复合单位来表示的原因。在随后的作业中,错误连篇。

【磨洋工】

通过小军和小刚谁跑得比较快,可以得出在时间、路程都不同的情况下可以比较速度。教师随后出示:每秒爬2;每小时行驶80千米等多种表示速度的信息,接着出示一组对比练习:

1、美国短跑名将鲍威尔男子100赛跑的成绩是10秒,他平均每秒能跑多少米?100÷10=10

2、蜗牛全速急爬3个小时,才能爬完30。它平均每小时能爬多少米?

100÷10=10

师:因此我们可以得出结论,美国短跑名将鲍威尔的速度和蜗牛的速度一样快。

生:(哄堂大笑)怎么可能!他们的单位不同的,鲍威尔的速度是每秒10,蜗牛的速度是每小时10米。

师:看来,我们应该清晰地表示出单位时间。(师将单位补充完整:米/秒;米/时)像这样的单位我们称之为复合单位,速度使用的就是复合单位。

从算式与得数相同从而得出鲍威尔的速度与蜗牛的速度相同这一结论,显然是荒谬的。因此,表述速度的单位理应使用复合单位,独具匠心的设计使学生轻松突破了难点。

2、突破练习中的重难点

11分米

 

 

4分米

9分米

为了更好地巩固新知,练习的设计有难有易,体现各种层次。当碰到稍微难一个层次或者变式性的习题时,教师需要给学生更多的时间去慢慢体会。

 

 

求下面平行四边形的面积

 

 

【传统】

学生独立完成,校对答案。

师:为什么不能用9分米和11分米?

生:9分米是4分米那条边上的高。

根据学生的回答小结:底和高要对应。

虽然从学生的回答中概括出选择的方法,底和高要对应;但是为什么要对应的底和高才能计算根本没有涉及,不利于学生理解把平行四边形转化为长方形的本质。

【磨洋工】

学生独立完成,校对答案。

师:为什么要选择9分米和4分米?

生:9分米是4分米那条边上的高。

师:你能在图上把平行四边形转化为你所计算的长方形吗?

学生作图。

师:谁能说说转化后的长方形是怎么样的?

生:长9分米,宽4分米

师:有没有转化为不一样的长方形?

学生独立思考。

生:可以转化为长11分米,宽3分米多点的长方形。

师:看样子,只有用底对应上的高,才能把平行四边形转化为长方形。

通过画图,让学生直观感受用9分米和4分米两条边,可以把平行四边形转化为长方形长9分米、宽4分米的长方形,而11分米的不行。

二、在建构数学思维的过程中“磨洋工”

数学是思维的体操,数学思维的培养理应成为数学教学的基本目标之一。但是数学思维不同与知识可以传授,也不同于技能可以操练。数学思维更多地需要“悟”。而“悟”是需要一个过程的。在数学课中我们理应在渗透数学思维的关键处“磨洋工”,静心思索,以达到心领神会,茅塞顿开的效果。

【传统】

复习旧知:出示长方形,回忆长方形的面积以及面积计算方法。

长方形的面积=长×宽

探究新知:

猜想:

出示平行四边形,请学生猜一猜它的面积可能怎样计算?

1:平行四边形的面积=底×邻边=7×5=35(平方厘米),

2:平行四边形的面积=底×高=7×3=21(平方厘米)。

验证:小组合作,拿出学具方格纸中的平行四边形以及平行四边形纸片、剪刀,选择材料动手实践验证哪个猜想是正确的。

汇报:生1:数格子,平行四边形有21格,面积是21平方厘米。

2:剪拼成长方形,发现平行四边形的底=长方形的长,平行四边形的高=长方形的宽,所以平行四边形的面积=底×高。(这个方法很少。)

因为长方形面积计算方法的负迁移,绝大部分学生对于平行四边形的面积有错误的猜想,虽然通过本课学习学生知道了平行四边形的面积怎么样计算,却不知道错误的猜想为什么错了。而且在验证的过程中学生很难想到用剪拼转化为长方形,如此快速地教学平行四边形的面积猜想——验证,学生心中有很多疑问。

【磨洋工】

师:轻轻一拉,长方形变成平行四边形,猜想你觉得平行四边形的面积可能怎样计算?

1:平行四边形面积=底×高

师:还有没有不一样的?(等待5s

2:平行四边形面积=底×邻边

验证第一种猜想(错误的猜想):

师:先来看第一种猜想,你是怎样想到的?

1:长方形的面积=长×宽,所以觉得平行四边形的面积=底×邻边;

2:刚才把长方形一拉就变成了平行四边形。

请学生上来把平行四边形框架拉成长方形,贴在黑板上并且观察到长方形的长与宽和平行四边形的底与邻边的对应关系,形成了如下板书:

师:请你认真观察,长方形的面积与平行四边形的面积真的相等吗?

教室安静极了,同学们都在认真观察,不一会,开始有小手举起来,慢慢地越来越多,甚至有同学忍不住轻声叫起来:“不一样,我知道了”。

好戏开始了。

生:把平行四边形右边凸出来的这个角移到左边,补到左边就变成一个小长方形,比原来的长方形面积要小。

在同学们的努力之下,平行四边形割补成一个长方形的过程第一次呈现在于全体学生的眼前。学生的割补欲望源于对错误猜想的解释,源于图形的直观刺激,这时课堂因为学生的错误而充满生命力。

小结:你得出了什么结论?

(平行四边形的面积拉成长方形会变大,不能用底×邻边计算。)

验证第二种猜想

1)小组合作,拿出学具方格纸中的平行四边形以及平行四边形纸片、剪刀,选择材料动手实践验证哪个猜想是正确的。

2)汇报:方法1:互补数格子,平行四边形有21格,面积是21平方厘米。

方法2:剪拼成长方形,发现平行四边形的底=长方形的长,平行四边形的高=长方形的宽,所以平行四边形的面积=底×高。

方法3:剪成2个完全一样的直角梯形,再拼成长方形,发现平行四边形的底=长方形的长,平行四边形的高=长方形的宽,所以平行四边形的面积=底×高。

比较两种猜想

师:刚才你们猜想平行四边形的面积时,都想到了长方形,为什么左边平行四边形的面积和长方形的面积不相等,而右边的平行四边形的面积却刚好等于长方形呢?

再一次把错误的猜想与正确的进行对比,让学生思维进一步提升,第一种猜想是拉成长方形面积发生改变,第二种猜想是剪拼成长方形,面积不变。

于是,笔者直观演示贴在黑板上的长方形框架,往下拉,面积变小,继续拉,面积再变小,让学生想象如果一直拉下去会怎么样?(会变成一条直线)再往回拉,又变大;当拉到长方形时面积最大,继续拉又变小。

 质疑:“底和邻边都没变,面积怎么会变小呢?”

这个时候学生已经通过前面的学习知道平行四边形面积的计算方法,再次质疑错误的猜想,从反面说明面积不是底×邻边,因为高变了面积才变了,也就是平行四边形的面积=底×高。

三、在探究体验活动处“磨洋工”

1、将动态演示的过程“磨洋工”

随着现代化技术的进步和发展,数学课中越来越多地使用多媒体演示来帮助学生理解概念。在《平行四边形面积》一课中,教师们普遍喜欢采用动态演示的方式让学生体会图形的拼组变化的过程。如果能有意识地放慢这一过程,让更多的学生看明白、想清楚,就能尽展所长了。

【传统】

师出示:根据给定的底边4,画出高为3的平行四边形,你能画几个?

生独立思考完成。

师在实物投影上展示学生的作品。然后进行动画演示:看!我们只要拖动鼠标,就可能画出很多个底为4高为3的形状不同的平行四边形,这些平行四边形都有什么共同点呢?

生:底相同、高相同、面积都是12

师:是的,这些平行四边形都是同底等高,面积相同的四边形。

动态演示的过程使学生感受到了各个平行四边形的形态变化,但是对于其中同底等高的关键数据的观察则是昙花一现,不利于学生准确理解本质特征。

【磨洋工】

在观看了电脑动画演示之后,教师设计了一个回顾和比较的环节:

 

师:上图三个平行四边形的底边是那一条,你能上来指一指吗?它们的高在哪里,你是怎么看出来的?(生边指边说)

师:你发现这些平行四边形面积有什么共同点呢?为什么?(生说理由)

师:可以用怎样的方法来证明它们的面积相等呢?(生操作剪拼)

师:这些平行四边形的形状都不一样,但是面积却是相同的,你能再画出几个不同形状,但是面积都是12的平行四边形吗?(生画,操作)

动态的演示不仅仅只是告诉学生可以怎么做,更重要是通过慢镜头的展现和解读,让学生理解为什么可以这么做,知道动态情境背后的数学思想,才能将动态演示的价值发挥到最大。

2、将画图、读图的过程“磨洋工”

数学中经常会采用画图的方法来帮助解决实际的问题。例如:在《植树问题》一课中,老师们都有让学生画图的意识,但是怎样将画图和读图的过程落到实处,并不简单。

【传统】

课伊始,教师提供情境:在一段长20的公路上种树,每隔5种一棵,可以种几棵?请你画一画。

生独立画。教师请一生板演。

师:同学们画出了三种不同的种法。看!这几种种法有什么相同点和不同点?

生:它们的相同点都是每隔5,不同点是两端都种就可以种5棵,只种一端的话就是4棵,两端都不种就是3棵。

师:你们看懂这几幅图了吗?

教师泛泛而谈的指导,对于学生理解植树问题的基本意义帮助并不大,在后续的学习中学生依然困难重重,画图这一形式虽好,但是没有发挥应有的作用。

【磨洋工】

画图的目的是深入理解数学思想,而不仅仅是寻求数学答案的工具。因此适当“磨洋工”,将画图和读图的过程进行了细致入微的处理,多花时间,才能使画图作为一种基本的活动经验扎根在学生的心底。

展示了学生的作品后,教师开始了读图的指导。师:谁能指着图说一说,他是怎么种的?

生:先种一棵树,隔上5,再种第二棵,再隔5,再种第三棵树,再隔5,种第4棵树,再隔5,种第5棵树。

师:我们一起照样子数一数:一棵树,一个间隔,一棵树,一个间隔…最后一棵树后面有没有间隔了?

生:没有了,因为它种在端点上。

师:这样的种法,棵树要比端点数多一。

在请学生反复指图说理的过程中,将每一个间隔和每一课树一一对应起来。此处花了大功夫,因而学生对于公式的理解和掌握就非常到位。

    

在分情况解读后,还将三幅图同时呈现,进行比较研究,深入人心。

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